A NIM játék

 

1. A játék története

 

A NIM játék eredetileg az ősi Kínából származik. A XIX. században Európában és Amerikában még „Fan-Tan” néven ismerték. A NIM név eredete vitatott, talán a német „nimm=vedd el” szóból ered, de elképzelhető, hogy egy régi angol szó, a „nim” az alapja, ami szintén azt jelenti, hogy „vedd el”, az angol tolvajnyelvben pedig lopást jelent. A játék, magát a NIM nevet Charles Leonard Boutontól, a Harvard egyetem professzorától kapta. Ő publikálta először 1901-ben a játék elemzését, és a nyerő stratégiáját.

 

2. A játék szabályai, menete

 

A játék kezdetén van valamennyi darab tárgyunk – legyenek ezek most gyufaszálak – amelyek tetszőleges számú kupacba vannak rendezve. Egy-egy kupacban szintén tetszőleges számú gyufaszálakat találunk. Két játékos játszik, akik felváltva lépnek. A lépés abból áll, hogy a soron következő játékosnak el kell vennie valamelyik kupacból (csak az egyikből!) legalább egy gyufaszálat, de legfeljebb az egész kupacot. A játéknak akkor van vége, ha elfogyott az összes gyufaszál. Az nyeri meg a játékot, aki az utolsó gyufaszálat elveszi.

Nézzük meg a játék egyik legegyszerűbb formáját: legyen három kupacunk, mindegyik kupacban 5-5 gyufaszállal. Mint sok más logikai feladatnál, ennél a játéknál is célszerű visszafelé gondolkodnunk. Természetesen az első lépések közrejátszanak abban, hogy a végén ki nyeri meg a játékot, de addig még sokféle lépéskombináció lehetséges, aminek az átgondolása nehezebb, mint az utolsó lépések számba vétele. Kezdjük tehát a gondolkodást a játék végéről.

A mi nevünk legyen A, az ellenfélé B. A mi számunkra az lenne a legjobb, ha valamelyik húzásunk után B-nek két kupac maradna 1-1 gyufaszállal: 0 1 1. Kénytelen az egyiket elvenni, nekünk ott marad a másik, és megnyertük a játékot. De ugyanilyen jó állás lenne az is, ha szintén két kupac maradna, és a kupacokban ugyanannyi gyufaszál lenne. Ebben az esetben B bármelyik kupacból húzna, bármennyi gyufaszálat, mi a másik kupacból vennénk el ugyanannyit, és megint a két egyforma kupacos helyzetet állítanánk elő. Tehát elmondhatjuk, hogy 0 n n állás a soron következő játékosnak vesztő helyzet, mert bármit lép is, az ellenfélnek egyszerűen csak „utánozni” kell a lépéseket, és megnyeri a játékot. Most nézzük meg, milyen lépések lehetségesek 2 1 1 állásnál. Ha most B következik, és logikusan gondolkodik, akkor az első kupacból elveszi a két gyufaszálat, így számunkra a már említett egyik vesztő helyzet jut: 0 1 1, amiből sehogyan sem tudunk győztesen kikerülni. Megállapíthatjuk tehát, hogy a játék kimenetele és győztese attól függ, hogy éppen mi van az asztalon, és éppen melyik játékos következik. Ez nemcsak az utolsó húzásokra érvényes, ezért ha a mindkét játékos jól játszik, már kezdéskor eldőlhet, hogy ki nyeri meg a játékot.

 

3. Nyerő stratégiák

 

A legjobb nyerő stratégiánk az, ha mindig az ellenfélre hagyjuk a vesztő helyzeteket. Ehhez természetesen fel kell tudnunk ismerni őket. A nyerő és vesztő helyzetek felismeréséhez több módszert is alkalmazhatunk.

 

Szimmetria keresése

A szimmetria keresése tulajdonképpen párok keresése úgy, hogy páros darab, azonos elemszámú kupacot keresünk. Általánosságban elmondható, hogy n db kupac esetén maximum [n/2] szimmetria hozható létre. Vannak olyan állások, amelyekben igen könnyű felfedezni a szimmetriát, és így az állás nyerő-vesztő helyzete is rögtön látszik. Melyek ezek az állások?

Páros számú kupac esetén vesztő helyzet: minden lépésre van utánzási lehetőség, teljesen szimmetrikus elrendezés, pl:

Páratlan számú kupac esetén nyerő helyzet: az egyik kupacot teljes egészében el kell venni, így páros darab kupacot és az előző helyzetet kapjuk, pl:

Páros számú kupacban mindkét elemszámú kupacból páros darab van: vesztő helyzet, mert minden lépésre van utánzási lehetőség, azt is láthatjuk, hogy nagyon hasonló az elrendezés, mint az előző pontban páros számú kupac esetén, itt is eljes szimmetriát kapunk, pl:

Páros számú kupacban mindkét elemszámú kupacból páratlan darab van: nyerő helyzet, egyszerűen párossá kell tenni a két fajta elemszámú kupacok darabszámát, így az előző helyzethez juthatunk, pl:

Páratlan számú kupac esetén szintén nyerő helyzet: azokból a kupacokból kell választani egyet, amelyek páratlanul vannak az ugyanolyan elemszámukkal, és a teljes kupacot el kell venni, így helyre állt a párosság.

Páros számú kupac esetén nyerő helyzet: ki kell választani azt a két kupacot, amelyiknek nincs párja és egyforma elemszámra kell hozni őket, így n/2 db párt kapunk és megint teljesen szimmetrikus elrendezést, pl:

Páratlan számú kupac esetén nyerő helyzet: egy olyan kupac található, amelynek nincs párja, ezt teljes egészében el kell venni, így az előző szimmetrikus álláshoz jutunk, pl:

Ezeket az állásokat tartom teljesen egyértelműnek, mert ha egyszer valaki megérti a szimmetria keresésének lényegét, akkor szinte gondolkodni sem kell már, ránézésre meg tudja mondani, hogy nyerő, ill. vesztő-e a helyzet. A szimmetria kereséséhez nem kell számolni, csak egy kis megfigyelésre van szükség, de a stratégia alkalmazása lehetetlenné válik, ha egy lépésből nem tudunk létrehozni szimmetriát. Ezekben az esetekben új stratégia után kell nézni. A következő állások erre adnak példát:

Több 10-14 éves gyerekkel sikerült megismertetnem a játékot csoportosan, és egyénileg egyaránt. Játszottunk pálcikákkal, gyufaszálakkal, kavicsokkal. A legtöbben az utánzás fontosságát észrevették és két kupacnál már bármikor felismerték a nyerő helyzetet. De abban a pillanatban, hogy egy harmadik kupacot is felállítottam, főleg azt kezdték el figyelni, hogy mikor melyik kupacban van páros, ill. páratlan elem, összesen mennyi elem van, ezek párosak, vagy páratlanok, összeadtak, kivontak. Éppen ezért szorgalmasan jegyzeteltem a gyerekek megjegyzéseit és elkezdtem gondolkodni egy olyan stratégián, amely az összes elem, ill. a kupaconkénti elemek párosságának figyelését veszi alapul.

 

Páratlan összelemszám

 

Az első, amit biztosan állíthatok, hogy ha a kupacok elemszámait összeadjuk és az páratlan számot ad eredményül, biztosan nem szimmetrikus elrendezéssel állunk szemben. Ezt könnyen beláthatjuk, hiszen, ha csak az előző fejezet vizsgálódásait vesszük alapul, akkor is kiderül, hogy páratlan összelemszámnál legalább 1 elem biztosan „kilóg” valahonnan, ezzel a szimmetria megbomlik. Azt is tudjuk, hogy az utánozhatóság is befolyásolja egy állás nyerő-vesztő voltát, amelyik állásban benne van az utánzás lehetősége, az vesztő helyzet. Páratlan összelemszám esetén biztos, hogy nem lehet minden lépésre „válaszolni”, tehát akinek ez jut, csak a „fölösleges” elemet kell elvennie. Megállapítható, hogy a páratlan összelemszámú elrendezés biztosan nyerő helyzet.

Ilyen helyzetek kupacszámtól függetlenül akkor fordulnak elő, ha páratlan darab páratlan elemszámú kupac van. Az is könnyen belátható, hogy párossá kell tenni az összelemszámot. A kérdés az: hogyan, mert az igaz, hogy minden páratlan összelemszámú állás nyerő helyzetet rejt, de ebből nem következik, hogy minden páros összelemszámú állás biztosan vesztő helyzet. Ez azért van, mert nem feltétlenül az 1-esnek, keresem a párjait, ill. szimmetriáját. Így nyugodtan lehet az összelemszám páros, attól még előfordulhat, hogy nem tudtam párosítani, pl. egy kettest, tehát az állás nem szimmetrikus, nem utánozható. Pl:

Tehát azt most már tudjuk, hogy páratlan összelemszám esetén nyerő helyzetben vagyunk, de sajnos arra a kérdésre, hogy mit lépjünk, nem ad választ ez a magyarázat. Arra meg végképp nem, hogy ha páros az összelemszám, akkor most nyerő, vagy vesztő a helyzet. Éppen ezért most keressük meg azokat a helyzeteket, amelyekben páros az összelemszám, és vesztő az állás. Ha ezeket sikerül megtalálni, akkor azt is megtudjuk, hogyan lépjünk a most kitárgyalt helyzetből.

 

Páros összelemszám

 

Először is meg kell állapítanom, hogy összességében több nyerő állás van, mint vesztő. Ezt könnyű belátni, hiszen az összes páratlan összelemszámú állás nyerő, plusz még a páros összelemszámúak között is akad bőven, és nekünk tulajdonképpen csak a vesztő állásokat kell megismernünk, mert ezek azok, amiket az ellenfelünkre akarunk ráhagyni. Így nem is kell olyan sok helyzetet felderítenünk. Sőt, a szimmetria figyelésével is „ki tudunk húzni” rengeteg állást, így ezek nem igényelnek külön vizsgálódást. A továbbiakban próbáljunk meg különböző állásokat összehasonlítani egymással, vajon miben különböznek, ill. miben hasonlítanak.

Először azt figyeltem meg, hogy ha a két kisebb kupac elemszáma különböző és összeadom őket, vesztő helyzetet kapok, ha összegük kiadja a harmadik kupac elemeit. Kiderült, hogy ez megfigyelés 4,6,10 esetében nem helyes. A következő megfigyelésem az volt, hogy ha a két kisebb (különböző elemszámú) kupac elemeit összeadom, és megkapom a legnagyobb kupac elemszámát, csak akkor vesztő a helyzet, ha a legnagyobb elem páratlan. Megint csalódnom kellett 4,5,9 elemszámok előfordulásakor.

 Ezek után döntöttem úgy, hogy felosztom a megfigyeléseket. Az összelemszám akkor páros, ha

- minden kupacban páros számú elem van, vagy
- páros kupacban van páratlan számú elem.

 

1. eset – minden kupacban páros számú elem van

A megfigyelések természetesen csak a különböző elemszámra korlátozódnak, egyébként nem lenne rá szükség, elég lenne a szimmetria észrevétele. Először 3 kupacra keresem a nyerő és vesztő helyzeteket. 1-10 elemszám esetén kevés ilyen állás van, tehát mindet felírom:

Azt rögtön észre lehet venni, hogy nem érdemes egyik kupacot sem teljes egészében elvenni, hiszen ezzel az előző fejezetben kitárgyalt kétkupacos nyerő helyzethez juttatjuk az ellenfelet. Az is látható, hogy nem szabad két ugyanolyan elemszámú kupacot sem hagyni az ellenfélre, mert így az megint csak nyerő helyzethez jut. Pl:

Megint csak nem érdemes úgy lépnünk, hogy az ellenfélnek páratlan összelemszámú elrendezés maradjon, hiszen erről is megállapítottuk, hogy nyerő helyzet. Az lenne az ideális, ha úgy tudnánk lépni, hogy az ellenfelünkre a következő feltételek teljesülése mellett maradnának a kupacok:

-a kupacok száma több mint kettő,
-nincs két egyforma elemszámú kupac,
-az összelemszám páros.

Nézzük meg, hogy tudnánk-e ezeknek megfelelően lépni. Különböző színekkel jelölöm a feltételeknek nem megfelelő lépéseket:

-kupacok száma kettő,
-két egyforma elemszámú kupac,
-összelemszám páratlan.

Figyeljük meg a lépéslehetőségeket! Az első esetben nem találtunk a feltételeinknek megfelelő lépést, láthatjuk, hogy bárhonnan veszünk el bármennyi elemet az ellenfél egy biztos nyerő helyzethez jut. Ezért megállapíthatjuk, hogy a 2,4,6 elrendezés vesztő helyzet. A többi esetben találtunk 1-2 megfelelő lépést. Kérdés az, hogy melyiket érdemes meglépni ahhoz, hogy biztosan vesztő álláshoz jusson az ellenfél. Mivel a 2,4,6 állásról már megállapítottuk, hogy vesztő, ezért ezt nyugodtan az ellenfélre hagyhatjuk. Az is látható, hogy a 2,4,8 állásból a jó lépésmegoldás, ha a 2,4,6 állást hozzuk létre, ezért bármilyen is az induló elrendezésünk, a 2,4,8-at nem szabad az ellenfélre hagyni, hanem törekedni kell a 2,4,6 létrehozására.

 

2. eset – páros kupacban van páratlan számú elem

Az előző esethez képest itt annyi a különbség, hogy két kupacban páratlan elemszám található. 3 kupac, és 1-10 elemszám esetén jóval több az álláslehetőség, mint az 1. esetben, ezért itt nem sorolom fel mindet, csak az igen hasonlónak tűnő, legegyszerűbb állások közül néhányat. Vizsgálatunkat a legegyszerűbb, legkevesebb elemszámú elrendezéssel kezdem, 1,2,3. Itt már minden kupac különbözik egymástól és páros az összelemszám.

Azt vehetjük észre, hogy az 1,2,3 vesztő helyzet, és az 1,3,4 állás pedig nyerő, hiszen egy lépésből át tudjuk fordítani vesztő állásra. De nézzük tovább, vajon minden olyan esetben, ahol az egyik kupacban 1 elem van, és a másik két kupac elemszáma közötti különbség 1, nyerő helyzetet kapunk?

Ennél az állásnál a feltételeinknek nem megfelelő lépéseket már nem írtam fel. Látható, hogy az általunk első jó lépésnek mondott helyzetekben nem kaptunk 1,2,3 állást, viszont a következő, második jó lépés (bármelyik irányt is választottuk) az 1,2,3 vesztő álláshoz vezet.

Foglaljuk össze az eddig tapasztaltakat. Ha nem találunk olyan lépést, ami az előzőekben már megállapított három feltételnek megfelel, akkor vesztő helyzettel állunk szemben. Ha egy lépéssel nem tudunk vesztő helyzetet előállítani, akkor szintén a mi állásunk a vesztő, ellenkező esetben nyerő elrendezésünk van.

Eddig a különböző kupacszámok vizsgálatánál csak 3 kupac esetét néztük meg, most lépjünk egy kicsit tovább, és nézzük meg mit lépjünk 4-5 kupac esetén. Természetesen a szimmetriára, páros-páratlan összelemszámra és a jó lépés keresésére vonatkozó megállapításainkat itt is felhasználjuk, hiszen ezek kupacszámtól függetlenül igazak.

Megint csak a legegyszerűbb elrendezéssel kezdjük, az 1,2,3,4 állással. Itt rögtön észrevehetjük, hogy az előzőekben megállapított 1,2,3 vesztő helyzetet magában foglalja az állás, és csupán egy lépéssel elérhető, hiszen ha a négyes kupacot elvesszük teljes egészében, akkor az ellenfél megkapja a háromkupacos vesztő állást. Az is észrevehető, hogy ugyanígy kell lépni minden olyan négykupacos állásnál, amikor a három legkisebb elemszám 1,2,3 a negyedik kupac pedig bármennyi elemet tartalmazhat. Tehát a négykupacos állást le kell redukálni egy háromkupacos vesztő állásra. Ehhez természetesen megint csak a háromkupacos vesztő állások ismerete szükséges.

5 kupac esetén bontsuk fel az állást 2 és 3 kupacokra, így külön-külön lehet vizsgálni. Akkor szerencsés a helyzetünk, ha egyik nyerő, másik vesztő helyzet, ezért a felbontást meg kell próbálni ilyenre alakítani. Pl:

Minél több elemszámunk van egy kupacban, és minél több a kupac, annál nehezebb átlátni, hogy mit is kellene lépnünk. Ilyen átláthatatlannak tűnő helyzetekben hívhatjuk segítségül a kettő hatványait.

 

Kettő hatványainak keresése

 

A módszer lényege tulajdonképpen az, hogy keressük a párokat, a párosítás, utánzás lehetőségét. De mint ez már kiderült kupaconként különböző elemszám esetén ez nem is olyan egyszerű, ezért erre alkalmazhatunk egy jól kidolgozott módszert. A kupacokban elhelyezkedő gyufák darabszámát kettő különböző hatványainak összegeként fejezzük ki. Ezek után megnézzük, hogy egy-egy számnak van-e párja egy másik kupacban. A párokra az utánzáshoz van szükségünk. A párokat nem vesszük figyelembe, hiszen ezek nem döntik el a játékot. A pár nélkül álló hatványokat viszont összeadjuk, ez lesz az elrendezés nim száma. Látható, hogy az első esetben kimarad egy kettes, aminek nincs párja, tehát itt 2 a nim szám. A második esetben a négyesnek és a kettesnek is van párja, nem marad ki semmi, így itt 0 a nim szám. Egy állás csak akkor nyerő, ha a nimszám nem 0.

A kérdés: hogyan „nullázzuk’ a nimszámot? Egyszerűen a kimaradt, pár nélküli eleme(ke)t elvesszük. Igen ám, de mi történik akkor, ha két olyan elem is marad, aminek nincs párja, és mindkettő más-más kupacban helyezkedik el? Nézzünk erre is egy példát:

Az egyik kupacban egy négyesnek nincs párja, a másikban pedig egy kettesnek. Egyszerre mindkettőt nem vehetjük el, mert egy lépésben csak az egyik kupacból lehet elvenni. Valahogyan mégis meg lehet oldani, hiszen nyerő helyzetről van szó, tehát biztosan át tudjuk fordítani az ellenfelünk számára. A megoldás az, hogy nem vesszük el mindkettőt, hanem az egyiknek megpróbálunk párt létrehozni. A 4-esnek nem tudunk, mert ekkora darabszám egy kupacban sincs, hozzátenni pedig nem lehet. A 2-esnek viszont könnyedén létre lehet hozni egy párt úgy, hogy a másik párnélküli darabszámból (jelen esetben a 4-esből) elveszünk kettőt, így helyreáll a párosság. Ez a módszer több kupac és darabszám esetén is alkalmazható.

 

Átváltás kettes számrendszerre

 

Most vizsgáljuk meg Bouton nyerő stratégiáját, amiben tulajdonképpen szintén a kettő hatványai játsszák a főszerepet. A kupacokban elhelyezkedő gyufaszálak darabszámát átváltjuk kettes számrendszerbeli számra, majd elvégezzük a nim összeadást ami nem más, mint XOR művelettel való egyesítés, és így megkapjuk a nimszámot.

A XOR művelet táblája:

Az eredményünk vagy 0 - ebben az esetben vesztő állásról beszélünk, vagy nem 0 - ebben az esetben nyerő állásról van szó. Nézzünk egy példát:

Az első állás számunkra kedvező, hiszen a nim szám nem 0. A kérdés most már az, ebben a helyzetben hogyan "nullázzuk le" a nim számot, hogy az ellenfélre a vesztő helyzet jusson. A válasz igen hasonló az előző stratégiában megadottól. Megnézzük, hogy mennyi a nimszám, megkeressük azt a kupacot, amelyben ez előfordul, és onnan azt elvesszük. Jelen esetben ez azt jelenti, hogy a három elemet tartalmazó kupacból kivonunk egy kettes-számrendszerbeli 10-est. Nézzünk egy másik érdekes példát:

 

A nimszám itt 110, de egyik kupacban sincs ennek megfelelő elem. A legnagyobb helyi értéken szereplő 1-est csak úgy tudjuk „lenullázni”, ha elvesszük a megfelelő elemszámot, de a többi helyi értéknél hozzáadással is rendezhetjük a nimszámot. Jelen esetben a 4 elemet tartalmazó kupacból először elvesszük a kettes számrendszerbeli 100-nak megfelelő elemszámot, azaz 4-et. Így a nimszámunk 010 lesz. Ezek után, mivel többet elvenni már nem tudunk ugyanebből a kupacból, hozzáadjuk a kettes számrendszerbeli 10-nek megfelelő elemszámot, azaz 2-t. Ezzel rendeztük a nimszámot. Látható, hogy ugyanarra az eredményre jutottunk, mint a kettő hatványainak vizsgálatakor. Láthattunk két nagyon hasonló nyerő stratégiát, ahol a kettő hatványoknak igen fontos szerep jutott. Ezek a módszerek bizonyítottan működnek, de vajon miért van ez így?

 

Miért a kettes számrendszer?

 

A kérdést úgy is fel lehetett volna tenni: miért nem bonthatók szét a kettő hatványai párok keresésénél? Miért nem lehet a négyes darabszámot 3 + 1 elemekre bontani? Ahhoz, hogy utánozni tudjuk lépésünkkel az ellenfelet, az összes lehetséges lépésére tudnunk kell „válaszolni”, vagyis olyan párokat kell keresni, amelyek ezt a lehetőséget magában foglalják. Elsőként nézzünk két nagyon egyszerű esetet, amikor a játékban összesen két gyufaszál van. (1. ábra)

Az első esetben a gyufaszálak külön kupacban találhatók. Itt igen egyszerű a párosítás, a „válaszlépés” lehetőségének vizsgálata. Ez az állás egyértelműen vesztő helyzet bármelyik stratégiát, vagy magyarázatot alkalmazzuk, hiszen egyetlen lépése van mindkét játékosnak és akármit is lépjen az első játékos, teljesen egyértelmű a válaszlépés is. Bármelyik gyufát elveszi az első játékos, a második elveszi a másikat és megnyerte a játékot. Megállapíthatjuk, hogy itt a két egyest tekinthetjük párnak. De mi történik akkor, ha ez a két gyufaszál egy kupacban helyezkedik el?

A második esetben a gyufaszálak egy kupacban találhatók. Egyelőre hagyjuk figyelmen kívül azt a szabályt, amelyet a kettő hatványai vizsgálatakor használtunk fel, miszerint a párok tagjainak külön kupacban kell elhelyezkedniük. Miért ne lehetne így, egy kupacon belül is párosítani? Az első játékos bármelyik gyufaszálat veszi el, akkor tökéletes válaszlépésként a második játékos elveszi a másik gyufaszálat és megnyerte a játékot, vagyis mondhatnánk, hogy ez is vesztő helyzet.

Mindkét esetre ugyanazt a levezetést használtam, ugyanazt a magyarázatot adtam, ugyanarra az eredményre jutottam. Miért van az, hogy mégsem helyes az okoskodás, hiszen a vak is láthatja, hogy a második tipikusan nyerő helyzet? Nos, az első esetben valóban az összes lehetőség kimerült – első lépésként vagy az egyik kupacból lehet elvenni egy gyufaszálat, vagy a másikból. A második esetben viszont szintén csak az egyik, ill. másik gyufa elvételét vizsgáltam, holott ezzel még nem vettem számba minden lépésvariációt. Ugyanis az első lépőnek arra is lehetősége van, hogy mindkét gyufaszálat elvegye, hiszen ezek egy kupacban helyezkednek el. Ha így tesz, erre bizony nincs megfelelő válaszlépés, sőt semmilyen lépés sincs, tehát ezzel meg is nyerte a játékot. Vagyis nem számoltam az összes lehetőséggel. Így megállapíthatjuk, hogy két gyufaszálat nem lehet egy kupacban párként kezelni, nem lehet őket szétbontani.

Az előző magyarázat véleményem szerint eléggé világossá teszi, hogy nem bontható meg a 2 sőt azt is, hogy egy kupacban semmilyen pár sem alakítható ki. A további számok vizsgálatakor nem bonyolódnék külön állások elemzésébe, csak önmagában az egy kupacon belüli bonthatóságot vizsgálom rövid magyarázattal.

|rjuk fel az eddig megvizsgált, nem bontható elemeket; 1, 2, 4, 8. Látható, hogy ezek mind a kettő hatványai. A vizsgálat gondolatmenetét folytatva azt kapjuk, hogy a további nem bontható elemek: 16, 32, … stb. Szintén mind a kettő hatványai. Tehát megkaptuk a magyarázatot arra, hogy miért ezeket kell párosítani a nyerő-vesztő helyzetek felismeréséhez.

Természetesen a kettő hatványaira és a kettes számrendszerre vonatkozó stratégiák kupac és elemszámtól függetlenül „működnek”, ennek ellenére nem minden esetben kell és érdemes számolgatni velük. Egy kupac esetén nincs mit gondolkodni, hiszen teljesen egyértelmű, hogy az egész kupac elvételével meg lehet nyerni a játékot. Két kupacnál sincs igazán mit számolgatni, hiszen vagy egyformák, vagy különbözőek, ezeket a helyzeteket pedig kielemeztük már, szintén egyszerűek. A szimmetria vizsgálatával könnyedén megállapítható helyzetekben sem érdemes külön számolásokba bonyolódni. Tehát a bonthatóság és a kettő hatványainak keresése 3 kupactól lesz csak érdekes.

 

4. Stratégiák előnyei, hátrányai

 

Szimmetriakeresés

Előnye:

Hátránya:

 

Összelemszám, lépések vizsgálata

Előnye:

Hátránya:

 

Kettes számrendszer használata

Előnye:

Hátránya:

 

Kettő hatványainak keresése

Előnye:

Hátránya: